Julematematik - quiz

December måneds opgave er en julematematikquiz med en ekstraordinært stor præmie til vinderen ;-). Deadline for svar er onsdag d. 21/12 kl. 16.

Følg linket herunder for at deltage. Det er meganemt!

Julematematikquiz

Glædelig 1. december. Anders Wolfsberg har skrevet følgende indlæg til RYSMAT-bloggen:

Sugiharas illusion

”Best Illusion ofthe Year Contest”… Ja, det er der virkelig en konkurrence, der hedder.

1.pladsen i år har fået nok opmærksomhed, så her får I lidt om 2. pladsen, som man jo aldrig må glemme!

Den gik i år til den japanske ingeniørvidenskabs-professor og illusionist Sugihara Kokichi.

Videoen, hvor han fremviser sin fremragende illusion kan ses her, og den skal nok tage fusen på dig. Det fede ved den er, udover at den narrer hjernen, at den bygger på matematik!

I al sin enkelthed er det en plastikfigur, der fra én synsvinkel ligner seks sideliggende cylindre, men set i spejlets refleksion, ser du seks sideliggende kvadratiske kasser!

Måske du selv kan lure, hvordan den er lavet. Måske ikke.

Det kunne jeg i hvert fald ikke, så her er et link til en matematisk forklaring, som du kan kigge nærmere på (den er på højt niveau!) – eller blot læse videre her.

Tricket er, at den øverste kant på hver af de seks 3D-figurer egentlig har følgende kurvede form (til højre).

Spørgsmålet er så, hvorfor hjernen tror den ser én form fra én synsvinkel, og en anden fra en anden synsvinkel.

Svaret er at finde i, hvordan hjernen fejlagtigt kan fortolke øjets billeder, når man kigger på en 3D-figur.

Hjernen kan nemlig nemt narres til at tro, den ser en 2D-kant på figuren – en flad kant – hvis den ikke opdager, at figurens kant kurver lidt op og ned (langs den blå akse).

Hjernen narres – 3D udskiftes med 2D

Øjet har to synslinjer i Sugiharas illusion – én direkte til figurens kant, og én der går via refleksionen i spejlet (se figur nedenfor)

Når man således kigger på et punkt (fixpunktet) på figurens kant, bemærker hjernen ikke kantens krumning. Den tror, at øjet kigger på en flad figur, altså én, der ligger i det grå plan (xy-planet).

Med denne fejlagtige tolkning opfatter hjernen – det fjols – altså ét punkt fra sin direkte synsvinkel, og et andet punkt fra sin spejlede synsvinkel!

I nedenstående videoklip kan I følge, hvad hjernen egentlig opfatter, når man kører sit blik rundt langs figurens kant.

Professor Sugihara har altså været så snedig, at han har lavet kanten på sin figur en smule kurvet på netop en sådan måde, at hjernen tror, den ser en flad kant – men to forskellige flade kanter fra hver sin synsvinkel, en cirkulær og en kvadratisk!

Matematikken bag – den simple version

Beregningen af, hvordan figurens kant præcis skal udformes, er en rent matematisk udfordring, og en ganske svær én! Men den interesserede læser kan prøve at følge mine beskrivelser nedenfor, hvor jeg beskriver, hvordan man finder 3D-koordinaterne til ét af de orange punkter, hvor kanten skal ligge for at narre hjernen.

Derefter er det jo bare et spørgsmål om at gentage sin argumentation nok gange for at finde de resterende punkter, der skal udgøre figurens krumme kant (hvilket dog viser sig at kræve avancerede matematiske metoder, som det nok ville kræve minimum én SRP-opgave at finde hoved og hale i!)

·      Vi udvælger en x-koordinat mellem 0 og 1, f.eks. x0=0,5.

I én af xy-planets kvadranter findes der til denne x-koordinat netop ét punkt på cirklen, Pcirkel, og netop ét punkt på kvadratet, Pkvadrat.

Vi vil nu finde det 3D-punkt, som øjet skal fokusere på for at opfatte netop disse to punkter fra hver sin synsvinkel – via den direkte synslinje og via den spejlede synslinje.

·      Vi bestemmer os først for koordinaterne til det punkt, hvor øjet skal være placeret.

·      Så trækker vi én linje direkte fra øjet til punktet på cirklen, Pcirkel, og en anden linje, der går fra øjet, reflekteres i spejlet på fysisk korrekt måde, og går videre ned til punktet på kvadratet, Pkvadrat .

·      Endelig finder vi skæringspunktet mellem de to linjer, og voíla, så har vi fixpunktet, hvor vores figurs kant skal ligge for at narre hjernen til at se hhv. en cirkel og et kvadrat (fra den valgte øje-position).

Matematikken bag – den avancerede version

I den avancerede version af dette matematiske argument gør man brug af såkaldte vektorfunktioner til at beskrive cirklen og kvadratets grafer – ligningssæt, hvor hvert af en kurves punkters x-, y- og z-koordinater er udtrykt ved én uafhængig variabel, t.

Eksempelvis er vektorfunktionen for halvdelen af enhedscirklen i xy-planet givet ved:

Man kan herudfra udlede vektorfunktioner, der beskriver hvert punkt på synslinjerne.

Sættes disse synslinje-vektorfunktioner lig hinanden, fås en ny vektorfunktion, hvis graf udgør alle skæringspunkterne mellem de to synslinjer.

Husk, at det er netop disse punkter, vi gerne vil have til at udgøre kanten på vores egentlige figur, da hjernen derved narres til at se Sugiharas illusion.

For de interesserede opnår man efter alle disse matematiske krumspring to vektorfunktioner, der beskriver hver sin halvdel af den ønskede kant:

Forsøg selv i Maple eller lignende program at indtegne de to funktioner! (hver, hvor t går mellem -1 og 1).

Maple kan faktisk ”tale sammen” med 3D-printere, så havde man bare sådan én, kunne man vha. disse to vektorfunktioner 3D-printe Sugiharas figurer og selv gå rundt og narre venner og fjenders hjerner til at se Sugiharas illusion J