Gåder og paradokser

De fleste mennesker opfatter matematik som et fag, hvor man på logisk vis kan forklare sig ud af næsten alt. Men matematik kan nu også være gådefuld og til tider paradoksal. Kender du selv en god matematisk gåde? Eller måske noget paradoksalt matematik? Så skriv en kommentar på siden her. Eller prøv for eksempel om du kan forklare nogle af følgende:

__________

1. Hvad er sandsynligheden for at begge børn er drenge?

Sandsynlighedsregning giver ofte resultater, der strider mod vores intuition. Det hele starter ellers meget simpelt: Alle kan vist blive enige om, at sandsynligheden for at få en sekser ved kast med en ærlig terning er , fordi der er 6 muligheder, hvoraf 1 giver succes. Sandsynligheden for at få en sum på 6 ved kast med to terninger er : Tænk på terningerne som rød og sort, så er der 36 muligheder, hvoraf 5 giver succes. (Hvilke 5?). Men prøv såå disse:

1. I et nabohus flytter et par ind, som har to børn. Hvad er sandsynligheden for at begge er drenge? Hvad er sandsynligheden for, at mindst én er en dreng?

2. Du møder parret, der er ude at gå. De har det ene barn med sig. Det er en dreng.

Hvad er sandsynligheden for, at det andet barn også er en dreng?

25%? 50%? Et helt andet tal?

3. Da du kommer hjem fortæller du, at du mødte de nye naboer, og at du så, de har en dreng. Ja, og det andet barn ligger stadig i barnevogn, svarer din mor. Ændrer den nye oplysning på svaret på spørgsmålet: Hvad er sandsynligheden for, at det andet barn også er en dreng?

__________

2. Bevis for, at: Alle heste har samme farve

Da vi kun opererer med hele tal, så benytter vi et såkaldt induktionsbevis. Denne bevistypebygger på følgende trin:

1. Vi beviser påstanden er sand for en bestemt startværdi, normalt for n=1

2.  Vi beviser dernæst, at såfremt påstanden er sand for en tilfældig værdi n, så er den også sand for det næste tal i rækken, n+1.

Hvis dette er tilfældet så er påstanden sand for alle tal, idet vi altid kan komme frem til et givet helt tal ved at gå et skridt frem af gangen. Og for hvert nyt trin siger punkt 2, at påstanden også her er sand.

Lad os starte:

1. Vi ser en gruppe bestående af én hest. I denne gruppe har alle heste samme farve!

2. Vi antager, at påstanden er sand for et givet tal n, tænk fx på n=100. Det betyder, at vi antager, vi har vist, at i enhver gruppe på 100 heste har de alle samme farve. Vi skal nu vise, det samme gælder for en gruppe på n+1=101 heste. Lad os altså sige, vi har 101 heste. Vi nummererer dem og ser først på gruppen af de første 100 heste. De har ud fra antagelsen alle samme farve. Så ser vi på hestene fra nummer 2 til nummer 101. Her er også 100, så de har også alle samme farve. Men da der er overlap mellem de to grupper af heste på 100 i hver, må de have samme farve. Altså har alle samme farve.

Hermed er det pr induktion vist, at alle heste har samme farve (når det gælder for 101, gælder det for 102, også så for 103,….)
__________