mandag den 5. december 2016
Julematematik - quiz
December måneds opgave er en julematematikquiz med en ekstraordinært stor præmie til vinderen ;-). Deadline for svar er onsdag d. 21/12 kl. 16.
Følg linket herunder for at deltage. Det er meganemt!
Julematematikquiz
torsdag den 1. december 2016
Sugiharas illusion
Glædelig 1. december. Anders Wolfsberg har skrevet følgende indlæg til RYSMAT-bloggen:
Sugiharas illusion
”Best Illusion ofthe Year Contest”… Ja, det er der virkelig en konkurrence, der hedder.
1.pladsen i år har fået nok opmærksomhed, så her får I lidt om 2. pladsen,
som man jo aldrig må glemme!
Den gik i år til den japanske ingeniørvidenskabs-professor og
illusionist Sugihara Kokichi.
Videoen, hvor han fremviser sin fremragende illusion kan ses
her, og den skal nok
tage fusen på dig. Det fede ved den er, udover at den narrer hjernen, at den
bygger på matematik!
I al sin enkelthed er det en plastikfigur, der fra én
synsvinkel ligner seks sideliggende cylindre, men set i spejlets refleksion,
ser du seks sideliggende kvadratiske kasser!
Måske du selv kan lure, hvordan
den er lavet. Måske ikke.
Det kunne jeg i hvert fald ikke,
så her er et link
til en matematisk forklaring, som du kan kigge nærmere på (den er på højt
niveau!) – eller blot læse videre her.
Tricket er, at den øverste kant på hver af de seks 3D-figurer
egentlig har følgende kurvede form (til højre).
Spørgsmålet er så, hvorfor
hjernen tror den ser én form fra én synsvinkel, og en anden fra en anden
synsvinkel.
Svaret er at finde i, hvordan
hjernen fejlagtigt kan fortolke øjets billeder, når man kigger på en 3D-figur.
Hjernen kan nemlig nemt narres
til at tro, den ser en 2D-kant på figuren – en flad kant – hvis den ikke
opdager, at figurens kant kurver lidt op og ned (langs den blå akse).
Hjernen narres – 3D udskiftes med 2D
Øjet har to synslinjer i Sugiharas illusion – én direkte til figurens kant, og én der går via
refleksionen i spejlet (se figur nedenfor)
Når man således kigger på et
punkt (fixpunktet) på figurens kant,
bemærker hjernen ikke kantens krumning. Den tror, at øjet kigger på en flad figur, altså én, der ligger i det
grå plan (xy-planet).
Med denne fejlagtige tolkning
opfatter hjernen – det fjols – altså ét punkt fra sin direkte synsvinkel, og et
andet punkt fra sin spejlede synsvinkel!
I nedenstående videoklip kan I
følge, hvad hjernen egentlig opfatter, når man kører sit blik rundt langs
figurens kant.
Professor Sugihara
har altså været så snedig, at han har lavet kanten på sin figur en smule kurvet
på netop en sådan måde, at hjernen tror, den ser en flad kant – men to
forskellige flade kanter fra hver sin synsvinkel, en cirkulær og en kvadratisk!
Matematikken bag – den simple version
Beregningen af, hvordan figurens kant præcis skal udformes,
er en rent matematisk udfordring, og en ganske svær én! Men den interesserede
læser kan prøve at følge mine beskrivelser nedenfor, hvor jeg beskriver,
hvordan man finder 3D-koordinaterne til ét
af de orange punkter, hvor kanten skal ligge for at narre hjernen.
Derefter er det jo bare et spørgsmål om at gentage sin
argumentation nok gange for at finde de resterende punkter, der skal udgøre
figurens krumme kant (hvilket dog viser sig at kræve avancerede matematiske
metoder, som det nok ville kræve minimum én SRP-opgave at finde hoved og hale
i!)
·
Vi udvælger en x-koordinat mellem 0 og 1, f.eks. x0=0,5.
I én af xy-planets kvadranter findes der til
denne x-koordinat netop ét punkt på cirklen, Pcirkel,
og netop ét punkt på kvadratet, Pkvadrat.
Vi vil nu finde det 3D-punkt, som øjet skal fokusere på for
at opfatte netop disse to punkter fra hver sin synsvinkel – via den direkte synslinje
og via den spejlede synslinje.
·
Vi bestemmer os først for koordinaterne til det
punkt, hvor øjet skal være placeret.
·
Så trækker vi én linje direkte fra øjet til
punktet på cirklen, Pcirkel,
og en anden linje, der går fra øjet, reflekteres i spejlet på fysisk korrekt
måde, og går videre ned til punktet på kvadratet, Pkvadrat .
·
Endelig finder vi skæringspunktet mellem de to
linjer, og voíla, så har vi fixpunktet, hvor vores figurs kant skal ligge for
at narre hjernen til at se hhv. en cirkel og et kvadrat (fra den valgte
øje-position).
Matematikken bag – den avancerede version
I den avancerede version af dette matematiske argument gør
man brug af såkaldte vektorfunktioner til
at beskrive cirklen og kvadratets grafer – ligningssæt, hvor hvert af en kurves punkters x-, y- og
z-koordinater er udtrykt ved én uafhængig variabel, t.
Eksempelvis er vektorfunktionen for halvdelen af enhedscirklen
i xy-planet givet ved:
Man kan herudfra udlede vektorfunktioner, der beskriver
hvert punkt på synslinjerne.
Sættes disse synslinje-vektorfunktioner lig hinanden, fås en
ny vektorfunktion, hvis graf udgør alle skæringspunkterne mellem de to
synslinjer.
Husk, at det er netop disse punkter, vi gerne vil have til
at udgøre kanten på vores egentlige figur, da hjernen derved narres til at se
Sugiharas illusion.
For de interesserede opnår man efter alle disse matematiske
krumspring to vektorfunktioner, der beskriver hver sin halvdel af den ønskede
kant:
Forsøg selv i Maple eller lignende program at indtegne de to
funktioner! (hver, hvor t går mellem -1 og 1).
Maple kan faktisk ”tale sammen” med 3D-printere, så havde
man bare sådan én, kunne man vha. disse to vektorfunktioner 3D-printe Sugiharas
figurer og selv gå rundt og narre venner og fjenders hjerner til at se Sugiharas illusion J
Abonner på:
Opslag (Atom)