Master Class

Masterclass i matematik er et tilbud til elever, som synes matematik er spændende, som gerne selv vil gøre en ekstra indsats, men som savner udfordringer fra en lidt anden matematik, end den vi arbejder med i gymnasiet.

I studiekredsen vil vi også undervejs arbejde med opgaver i tilknytning til Georg Mohr konkurrencen, så studiekredsen vil også være en forberedelse til deltagelse heri. Men studiekredsen har et bredere sigte, og man afgør selv om man vil tage udfordringen op med Georg Mohr konkurrencen.

Masterclass vil forløbe over 7 lektioner i efteråret, samt yderligere to lektioner der alene drejer sig forberedelsen til Georg Mohr: Hvis der er interesse og overskud til det, gennemføres yderligere et antal lektioner i foråret.

Nedenfor er der et udkast til de emner, vi arbejder med. Men meget vil også afhænge af deltagerne – er der emner, vi skal fordybe os mere i, eller er der emner, men har hørt om, og som man gerne vil have vi tager op? Så bringer man det med og vi overvejer i fællesskab, om det er et emne, der tænder.  Hensigten er alene at stimulere interessen for matematik og science, ikke at nå et bestemt program.

Arbejdsformen i den enkelte lektion vil være en blanding af undervisning og øvelser, hvor deltagerne selv arbejder med opgaver i tilknytning dagens emne. Der vil ofte være et lille hjemmearbejde, hvor deltagerne kan kontrollere, om de fik hold på den nye teori og de nye metoder.

Vi vil i Masterclass anvende matematiske værktøjsprogrammer, hvor det er naturligt. Det drejer sig især om geometriprogrammer (Geogebra eller TI Nspire CAS), og Maple. Der vil undervejs blive givet en introduktion til brugen af programmerne, hvis der er behov.

Alle lektioner er af 1 ½ times varighed, og de vil finde sted ca. hver anden onsdag i tidsrummet 15.30 – 17.00 på følgende datoer:

Datoer for efterår 2016:
7/9, 21/9, 5/10, 26/10, 9/11, 23/11 og 7/12

Sted:
Det foregår normalt i Studiecenter 3V i Hovedbygningen.

De ekstra lektioner med fokus udelukkende på Georg Mohr konkurrencen finder sted 14. dec og 9. jan

(Georg Mohr konkurrencens første runde er tirs 15. nov, og anden runde er tirs 10. jan.

Man kan godt deltage i enkelte af dagene, uden at være forpligtet til at komme hver gang. Man møder bare op. Vi vil dele materialer via dropboks, så deltagerne skal kobles op på denne via en invitation til deres foretrukne mail.

Masterclass i matematik på Rysensteen. Foreløbig plan for emner.

Sandsynlighedsregning  og Pascals trekant. Vi vil arbejde emner som følgende:
I folkeskolen lærer man at regne med bogstaver – det kaldes algebra – og regler for dette, fx kvadratsætningerne som: (a+b)2 =a2 +2ab + b2.

De er meget nyttige, vil vi se eksempler på, især anvendt fra højre mod venstre. Men hvad nu, hvis man skal udregne (a+b)6 eller en anden potens? Kan man bare skrive det op? Det kan man ved at anvende Pascals trekant. Denne optræder mange steder, og vi vil fordybe os lidt i dens egenskaber.


Fibonaccitallene. Vi vil arbejde emner som følgende:
Fibonacci-tallene er følgen 1,1,2,3,5,8,13,21... Kan du se systemet? De optræder ofte i naturen: tæl fx antal spiraler der drejer den ene vej på en ananas (eller en grankogle), og antallet der drejer den anden vej – det vil altid være to Fibonaccital efter hinanden. En del af forklaringen herpå finder vi, hvis vi udregner forholdene:  1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, .. Denne talfølge vil nærme sig et bestemt tal, man kalder Det gyldne snit. Hvorfor? For at svare på det, må vi også fordybe os lidt i, hvad det gyldne snit egentlig er.

Klassisk geometri – argumentation ud fra nogle få axiomer. Vi vil arbejde emner som følgende:

For alle trekanter gælder: De tre vinkelhalveringslinjer, de tre midtnormaler, de tre medianer og de tre højder vil hver for sig skære hinanden i ét punkt. Hvorfor det? Alle trekanter har omskrevne og indskrevne cirkler. Hvorfor det? Måske har du set argumenterne for dette før, men det er en god øvelse i at argumentere præcist at genopfriske noget af dette. Hvordan går man til sådanne opgaver, hvor man fx skal argumentere for en eller anden påstand ud fra en given tegning? Vi prøver at undersøge og bevise andre smukke egenskaber ved trekanter og andre figurer. Fx: Hvorfor er der lige præcis 5 regulære polyedre (pyramiden, terningen, dobbeltpyramiden, ikosaederet og dodekaederet)?


Primtal – og deres anvendelser i kodning og kryptologi. Vi vil arbejde emner som følgende:

Hvis tal er molekyler, er primtallene deres atomer. Men i tallenenes verden er der ikke et endeligt antal atomer. Der er uendeligt mange af dem, der er ikke et system, så vi kan forudsige det næste primtal, men der er et mærkeligt system i antallet af primtal. Mange små opgaver om tal kan løses elegant, når man ”opløser tallene i deres atomer”.  Og de er samtidig meget anvendelige – de kan fx anvendes til at lave ubrydelige koder.


Tal, mængder og uendelighed. Vi vil arbejde emner som følgende:

Hvad er den enkleste måde at finde ud af, om der er stole nok, når man er i et stort lokale med mange mennesker og mange stole? Der er nok at bede folk om at sætte sig ned. Når vi parrer elementerne i to forskellige mængder sammen to og to for at se, hvor der er flest, anvender vi det såkaldte skuffe-princip. Det kan bruges til at løse flere sjove typer opgaver, men det bliver først rigtig interessant, når vi prøver at anvende det på uendeligt store mængder. Hvor er der flest tal, i {1,2,3,4,5…} eller i {1,4,9,16,25,…}, hvor prikkerne betyder det bare fortsætter? Uendeligt er ikke bare uendeligt, der er forskellige grader af uendelighed. Det vil vi illustrere ved først at sammenligne talmængderne: De hele tal, brøkerne og de irrationale tal. Og samtidig prøve at forstå, hvad et irrationalt tal egentlig er.

Dernæst vil vi dykke ned i historien om Hilberts Hotel, og nok blive lidt svimle af de paradokser, der opstår med de forskellige grader af uendelighed.


Rækker, følger og summer af uendeligt mange led. Vi vil arbejde emner som følgende:

Med små tricks kan man på få sekunder udregne fx summen at alle tal fra 1 til 1000. Vi vil lære formlen og bevise den gælder. Men hvad med uendeligt mange led? kan man lægge dem sammen? Ja somme tider: Fx er 1+1/2+1/4+1/8+ … =2. Ud fra dette kan man studere geometriske fraktaler og fx vise, at en figur kan have et lille areal og en uendelig omkreds.


Kombinatorik og Sandsynlighedsregning. Vi vil arbejde med emner som følgende:

Sandsynlighedsregning starter lidt banalt – hvad er sandsynligheden for at få summen 6 ved kast med to terninger? – men bliver hurtigt overraskende svært, bl.a. fordi vores intuition ofte spiller os et puds. Men grundlæggende drejer det sig om at have en strategi for at tælle og for at stille oplysningerne overskueligt op. I sandsynlighedsteoriens første periode drejede alt sig om spil (hasardspil eller lykkespil, som det hed), fx: A og B kaster på skift to terninger, A begynder og de har aftalt følgende: Hvis A opnår en sum på præcis 6 før B opnår en sum på præcis 7, så vinder A, ellers vinder B. Hvad er sandsynligheden for at A vinder?

I dag anvendes sandsynlighedsteoretiske vurderinger i mange forskellige sammenhænge. Antag vi har en test for HIV, der er rimelig effektiv, idet den fanger 90% af alle der er smittede. Men testen fanger også 5% af de raske. Vi har en samlet population på 1000, hvoraf i alt 2% er smittede. Du testes positiv. Hvad er sandsynligheden for at du faktisk er smittet? Dette hører til området betingede sandsynligheder, men de kan også løses enkelt, hvis man stiller de givne oplysninger op i et overskueligt skema.